\section{子群和商群}

\begin{introduction}
	我们通过定义子群和正规子群来对一个群实现分划，这实际上生成了一个等价类，
	等价类之间通过代表元在群运算下生成了一个新的群，我们称为商群。
	商群和子群实际上描述了群的一个拆解。
\end{introduction}

\subsection{子群的定义、判定、性质}

\begin{definition}
	倘若$H$是群$G$的一个非空子集，且$H$\textbf{\heiti 在$G$的运算下}构成一个群。
	那么称$H$是$G$的一个子群，记为$H<G$。
\end{definition}

$H$的运算和$G$的运算一致，这说明两个群的单位元相同，以及每个元素的逆元相同。

\begin{remark}
	很显然，$\{e\}$和$G$都是满足条件的$G$的子群，我们称这两个子群为平凡子群。
\end{remark}

\begin{theorem}[子群的判定]
	$G$是群，$H$是$G$的非空子集，以下的命题等价。

	\begin{enumerate}
		\item {$H<G$}
		\item {$\forall a,b \in H$，$ab \in H, a\rev \in H$}
		\item {$\forall a,b \in H$，$ab\rev \in H$}
	\end{enumerate}
\end{theorem}

\begin{proof}
	我们只需证明$1. \Rightarrow 2.$，$2. \Rightarrow 3.$，$3. \Rightarrow 1.$就能证明三个命题等价。
	我们先证明$1. \Rightarrow 2.$。

	因为$H < G$，所以根据群的封闭性，$\forall a,b \in H$，$ab\in H$；同时，群要求对于每个元素都存在逆元，也即$\forall a \in H$，$a\rev \in H$。证毕。

	接下来证明$2. \Rightarrow 3.$。任取$a,b \in H$，首先$b\rev \in H$，而$a \in H$，因此$ab\rev \in H$。证毕。

	最后证明$3. \Rightarrow 1.$。既然$H \subseteq G$，我们只需证明$H$是群即可，我们将按照群的定义（\ref{definitionOfGroup}）来证明它。
	首先$G$的运算先天满足结合律。
	鉴于$H$是非空子集，所以总存在$a \in H$，据$3.$有$aa\rev = e \in H$，这说明$H$中存在单位元。
	任取$b \in H$，$eb\rev = b\rev \in H$，这说明$H$中任意元素均存在逆元。
	最后，任取$a,b \in H$，有$a,b\rev \in H$，据$3.$，$a(b\rev)\rev = ab \in H$，这说明了封闭性。
	这些共同说明了$H$是群，进而说明了$H$是子群。证毕。
\end{proof}

在这个子集有限的情况下，我们也可以有更为简单的判定。

\begin{theorem}[有限集合的子群判定]
	$H$是群$G$的非空有限子集。那么
	$$H < G \Leftrightarrow H \text{对}G\text{中的运算封闭}$$
\end{theorem}

\begin{proof}
	自左至右显然。

	自右至左：既然$H$和$G$中的运算相同，根据群$G$的性质，这说明这个运算（在$H$里）满足结合律和左右消去律。
	因为$H$对$G$封闭，这说明$H$是包含于$G$中的一个有限半群，加之其满足左右消去律，根据定理1.2.6，$H$是一个群，进而它是一个$G$的子群。
\end{proof}

\begin{theorem}[子群之交仍为子群]
	$G$是群，若$H_1, H_2$是$G$的子群，则$H_1 \cap H_2$仍然是$G$的子群。
\end{theorem}

\begin{proof}
	很显然$e \in H_1\cap H_2$，这说明$H_1 \cap H_2$是$G$的一个非空子集。
	任取$a,b \in H_1 \cap H_2$，$a,b \in H_1$，$a,b \in H_2$，由定理1.3.1，我们有$ab\rev \in H_1$，$ab\rev \in H_2$，
	这说明$ab\rev \in H_1 \cap H_2$，由定理1.3.1，这说明了$H_1 \cap H_2$是$G$的子群。
\end{proof}

\subsection{陪集、商集、Lagrange定理}

\subsubsection{陪集}

为了给定义商集做准备，我们先来定义一下左、右陪集。

\begin{definition}[陪集]
	设$H$是$G$的一个子群，$a \in G$。我们分别称
	$$aH = \{ah \mid h \in H\}\text{，}Ha = \{ha \mid h \in H\}$$
	以$a$为代表的$H$的左陪集、右陪集。
\end{definition}

左右陪集的讨论具有对称性，我们接下来关于陪集的讨论只讨论一边，另一边的类似结论同理可证。

\begin{theorem}[陪集构造等价，等价构造分类]
	设$H$是$G$的一个子群，那么由
	$$a R b \Leftrightarrow a\rev b \in H$$
	构造的$G$中的关系$R$是一个等价关系，并且$a \in G$所在的等价类$\bar{a}$恰是以$a$为代表的$H$的左陪集$aH$。
	这也就是说，所有互不相同的$H$的左陪集全体$\{aH\mid a \in G\}$构成了原群$G$的一个分类。
\end{theorem}

\begin{proof}
	我们首先证明这是一个等价关系。
	任取$a,b,c \in G$：
	$a\rev a = e \in H \Rightarrow aRa$，反身性成立；
	$aRb \Rightarrow a\rev b \in H$，所以$(a\rev b)\rev = b\rev a \in H$，也即$b R a$，对称性成立；
	$aRb, bRc \Rightarrow a\rev b \in H, b\rev c \in H$，因此$H \ni (a\rev b)(b\rev c)=a\rev b b\rev c = a\rev c \in H$，也即$aRc$，传递性成立。

	接下来证明任取$a \in G$，$\bar{a} = aH$。我们通过证明$\bar{a} \subseteq aH$和$aH \subseteq \bar{a}$来证明结论。
	首先，任取$b\in G$满足$a R b$，$a\rev b \in H$，我们假设$a\rev b = h_1 \in H$，所以$b=ah_1\in aH$，也就说$\bar{a} \subseteq aH$；
	另一方面，任取$b \in aH$，也即存在$h \in H$，$b = ah$，也即$a\rev b = h \in H$，也就是说$a R b$，也即$b \in \bar{a}$，所以$aH\subseteq \bar{a}$。
	因此$\bar{a} = aH$。

	这样的等价关系决定了$G$的一个分类$\{\bar{a} \mid a \in G\} = \{aH \mid a \in G\}$。
\end{proof}

因此我们有推论

\begin{corollary}
	设$H$是$G$的子集。$a,b\in G$，则$aH = bH \Leftrightarrow a\rev b \in H \Leftrightarrow aRb$。
\end{corollary}

\subsubsection{商集和Lagrange定理}

\begin{definition}[商集（陪集空间）]
	设$H$是$G$的子群，$G$关于等价关系“$aRb \Leftrightarrow a\rev b \in H$”的商集$G/R$称为$G$对$H$的左商集（左陪集空间），也记为$G/H$。

	$G/H$的基数$|G/H|$称为$H$在$G$中的指数，记作$[G:H]$。
\end{definition}

在此基础上，我们有一个重要的定理。

\begin{theorem}[Lagrange定理]
	设$H$是有限阶群$G$的子群，那么有
	$$|G|=[G:H]\cdot |H|$$
	也就是说 $|H|$ 整除 $|G|$。
\end{theorem}

\begin{proof}
	我们先证明$|H|=|aH|,\forall a \in G$。我们能构造这样一个映射$\phi: h \mapsto ah,\forall h \in H$，能观察到这个映射是一个从$H$到$aH$的一个双射，这说明了$|H|=|aH|$。

	根据定理1.3.4，$G$可以表示成几个不相交的陪集的并，这些陪集的个数是$[G:H]$，每个陪集的阶是$|H|$，这也就说明了$|G| = [G : H]\cdot|H|$.
\end{proof}

\begin{corollary}
	设$G$是有限群，$H < K < G$，则有
	$$
		[G:H]=[G:K][K:H]
	$$
\end{corollary}

\begin{proof}
	$$
		\begin{aligned}
			|G| & = [G:K]|K| & = [G:K][K:H]|H| \\
			    & = [G:H]|H|
		\end{aligned}
	$$
	约掉$|H|$有$[G:H]=[G:K][K:H]$。
\end{proof}

\subsection{正规子群、商群}

\subsubsection{正规子群}

\begin{myremark}
	教材给出了这样的一个构造。

	通常而言我们没有$\forall a \in G$，$aH = Ha$。
	但是如果我们能有这样的性质，能导出许多有趣的结论（譬如可以导出同余关系，进而可以引出商群）。
	我们就可以这样定义$G$的正规子群。

	但是我们实际上会用另一种方式定义正规子群，这个定义和前面的期望性质是等价的，但是更容易检验。
\end{myremark}

\begin{definition}
	$H$是群$G$的子群。如果任取$g \in G$，$h \in H$都有
	$$ghg\rev \in H$$
	那么称$H$是$G$的正规子群，记作$H \lhd G$。
\end{definition}

\begin{theorem}[正规子群的判定]
	$H$是群$G$的子群。以下命题等价：
	\begin{enumerate}
		\item {
		      $H \lhd G$
		      }
		\item {
		      $\forall g \in G, gH = Hg$
		      }
		\item {
		      $\forall g_1,g_2 \in G, g_1H \cdot g_2H = g_1g_2H$，这里$g_1H \cdot g_2H = \{g_1h_1g_2h_2 \mid h_1,h_2 \in H\}$
		      }
	\end{enumerate}
\end{theorem}

\begin{proof}
	老样子，我们推一圈就能证明两两等价。

	$1. \Rightarrow 2.$。任取$g \in G$，$h \in H$，有：
	$$
		\begin{aligned}
			hg = ghg\rev g = gh \in gH \Rightarrow Hg \subseteq gH \\
			gh = gg\rev h g = hg \in Hg \Rightarrow gH \subseteq Hg
		\end{aligned}
	$$
	这也就说明了$gH = Hg$。

	$2. \Rightarrow 3.$。
	首先，任取$h_1,h_2 \in H$，因为$h_1g_2 \in Hg_2 = g_2H$，所以必定存在$h_3 \in H$使得$h_1g_2=g_2h_3$。
	那么，$g_1h_1g_2h_2=g_1g_2h_3h_2 \in g_1g_2H$，也就是说$g_1H\cdot g_2H \subseteq g_1g_2H$。

	另一方面，任取$h \in H$，由于$e \in H$，则$g_1g_2h=g_1eg_2h \in g_1Hg_2H$,
	所以$g_1g_2H \subseteq g_1H\cdot g_2H$。

	这两方面说明了$gH = Hg$。

	$3. \Rightarrow 1.$。
	任取$h \in H$，$g \in G$，
	$$ghg\rev = ghg\rev e \in gH \cdot g\rev H = gg\rev H = H$$
	这说明了$H \lhd G$。
\end{proof}

\subsubsection{商群}

接下来我们引入商群的概念。

\begin{theorem}[等价关系的同余性，商群]
	设$H$是群$G$的一个子群。$R$是$G$上的一个关系满足
	$$aRb \Rightarrow a\rev b \in H$$
	则
	$$R\text{是}G\text{上的一个同余关系} \Leftrightarrow H \lhd G$$
	此时商集$G/R$对同余关系$R$导出的运算也构成一个群，称它为$G$对$H$的商群，记作$G/H$。
\end{theorem}

\begin{proof}
	“$\Leftarrow$”：这个关系$R$是等价关系在上一Section已经证过，只需证明它是同余关系即可。
	任取$a_1,a_2,b_1,b_2\in G$满足$a_1Rb_1, a_2Rb_2$，也即
	$$
		\begin{aligned}
			a_1\rev b_1 \in H   \qquad   a_2 \rev b_2 \in H
		\end{aligned}
	$$
	令$a_1\rev b_1 = h$，那么
	$$
		\begin{aligned}
			(a_1a_2)\rev b_1b_2 & = a_2\rev a_2\rev b_1 b_2 \\
			                    & = a_2\rev h b_2 \in H
		\end{aligned}
	$$
	这也就说明了$R$是同余关系。

	“$\Rightarrow$”：任取$g \in G$，$h \in H$，因为$g\rev g h = h \in H$，所以$g R gh$，
	同时由于自反性$g\rev R g\rev$。由于$R$是同余关系，
	$$gg\rev R ghg\rev$$
	也就是
	$$(gg\rev)\rev ghg\rev =  e\rev ghg\rev = ghg\rev \in H$$
	这证明了$H \lhd G$。
\end{proof}

\begin{remark}[同余关系导出的运算]
	\setlength{\parindent}{2em}
	\indent
	同余关系导出的运算是针对这个同余关系的等价类的。举例而言：
	我们在集合$S$上定义一个同余关系$R$，那么$S$的商集$S/R$上可以定义一个乘法
	$$\bar{a}\bar{b} = \overline{ab} \qquad \forall a,b\in S$$

	如果$G$是一个群，那么他对于一个正规子群$H$的商集$G/H$在这个同余关系$R$（$aRb \Rightarrow a\rev b \in H$）
	所导出的运算（关于等价类的运算）上构成一个群。证明十分简单。
\end{remark}

\begin{myremark}[凭什么是这样的一个关系$R$ ？\\以及凭什么我们这么定义正规子群？]
	\negthickspace 在本节中，我们在做的一件重要的事情就是拆解一个群。
	我们从子群开始拆解——这个子群是保持群结构的一个子单位。
	接下来我们构造陪集，构造陪集是为了构造群的分划，进而构造商集；
	构造商集后我们有希望商集本身能够保持群结构，这就需要这个分划对应的等价关系同时是一个同余关系，
	而这对一开始分划时的基础，也就是选取的子群有要求，满足要求的子群就是我们要的正规子群。

	陪集的定义在于在子群两侧乘上元素。这可以理解成一个子结构的“平移”。
	形象点说，如果我们把群比作一面地板，那么子群可以理解成一块瓷砖，
	构造陪集的过程就像是把一块瓷砖复制、平移。
	这样的话，我们也就能理解为什么可以想到从陪集构造分划了。

	我们现在要借助陪集构造分划了，那我们就需要定义一个标准，满足标准的两个元素就能被划为一类。
	很容易想到这样的标准：如果这两个元素构造的陪集是一样的，那就把它们俩划到一起。
	用数学的语言说，$H$是$G$的一个子群，$a,b\in G$被划在一类的条件是$aH=bH$，
	这等价于任取$h_1 \in H$，总存在$h_2 \in H$，使得$ah_1=bh_2$，整理有
	$$a\rev b = h_1h_2\rev \in H$$
	鉴于此，我们这么定义关系$R$。

	我们已经在上文中证明了$R$是一个等价关系，这也就达成了我们的目的——构造一个分划。
	接下来，我们要在分划出来的商集合上建立一个运算，进而产生商群。这个运算就是这个等价关系$R$要诱导出的运算。
	而这个运算能被诱导出来再商集上成立，就要求这个关系$R$必须又得是一个同余关系。

	这实际上给出了商群的一个刻画：商群是正规子群及其陪集构成的集合，赋以代表元的运算所构成的群。
	这说明商群$G/H$中的每个元素都可以表示成$aH$（$a \in G$）的形式，且它们的乘积就是“平移量”的乘积。

	而参考定理1.3.9的“$\Rightarrow$”证明，这个关系是同余关系最终导出了$ghg\rev \in H$的这么一个要求。
	在这样的要求下，我们定义了正规子群。
\end{myremark}
